АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И РЕМОНТНЫХ ЗАВОДАХ

Предположим, что имеется обобщенный параметр с областью работоспособности, разделенной на непересекающиеся состояния 1, 2,…, F. При контроле этого. параметра в моменты т=0, At, 2А t, …, г At, получено п независимых последовательностей измере­ний, где п — число АС. Задача состоит в том, чтобы оценить зна­чения переходных вероятностей щц, входящих в формулировку за­дачи линейного программирования.

Рассмотрим решение этой задачи с позиций метода максималь­ного правдоподобия [90]. Смысл этого метода состоит в том, что в качестве оценок значений переходных вероятностей выбираются такие cjij, при которых функция правдоподобия максимальна.

Оценим значения qa для нестационарного случая, т. е. когда <7ц=^і3(т) . Рассмотрим два соседних момента времени т—1 и т. Обозначим через га«Дт) число реализаций, наблюдаемых в момент т — 1 в состоянии /, а в момент т—в состоянии /. Из состояния t в момент т— 1 процесс может перейти в момент т в любое со­стояние /’= 1,…, F. Поэтому общее число измерений состояния і В

F

момент T — 1 п, (т— l) = 2

1

Случайная величина пц{х) дискретна и принимает значения «гт(т), Яг2(т),..Пцг(т) с вероятностями qn(x),…, qiF (т), для ко — (

торых справедливо Для того чтобы найти вероят-

/-1

ность события, заключающегося в одновременном наблюдении »п(т), п;2(т),…, niF(x) переходов реализаций параметров в соот­ветствующие состояния /е 1, F, воспользуемся полиномиальным распределением [41]. Полиномиальное распределение является обобщением биномиального, если имеется несколько (больше двух) исходов опыта. В данном случае оно равно F. Поэтому ве­роятность НаблЮДеНИЯ Пц (t) ПСреХОДОВ В СОСТОЯНИе 1, ҐІЇ2 (т) — в состояние 2,…, niF(т) —в состояние F равна

а функция правдоподобия, обозначенная через Lv, принимает вид:

£р=ГЇ П (6.

/,_/■=]

Максимального значения функция правдоподобия Lp достигает при значениях

которые получаются после дифференцирования частным образом пмражеїшя (6.1) и последующих преобразований. Таким образом, п качестве оценки значений переходных вероятностей для всех /. г следует (выбирать величину

~ пц( т)

<7,/(*)=>- (6-3)

2 (т)

котрая обладает всеми качествами, необходимыми для оценок — •ффекгнвностью, состоятельностью и несмещенностью.

Для стационарного случая, используя аналогичные рассужде­ния, можно получить

г г

2 пч 2 пч

ЧН=7^Г———— = 7^——————- • (6.4)

2п«дт—*) 2 2 «/• <т>

х— 0 т=0 s* = 1

Лп. члп шруя выражения (6.3) и (6.4), можно заметить, что для по­лучения оценок значений переходных вероятностей достаточно шли, только значения т).

у (о настоящего момента предполагалось, что цепь Маркова нм< і і первый порядок, однако такое предположение не всегда вер­но порядок цепи может быть выше. Для стационарной цепи вто — роїіі порядка оценка максимального правдоподобия значений пере — п і и і,1 вероятностей

2 пЧ* (т)

Пі]к

4i)h F — г—1 —

У Пі]тп 2 ^*7

m—1 х—1

< циенб получения значений q^h подобен приведенному выше, но мыкла 1К’Н более громоздки, поэтому они опущены.

Применение выражения (6.4) позволяет получить значения эле­мента МВП, но нс дает уверенности в том, что случайный про­мыт, характеризующий поведение параметра во времени, может fii. ui, аппроксимирован цепью Маркова 1-го порядка со стационар­ными вероятностями перехода. Действительно, во-первых, вероят — 111 к пі і/,, могут зависеть от времени и тогда их нужно оценивать, не, полі, іх vi выражение (6.3); во-вторых, не исключена возможность, •по пеш, будет иметь порядок. выше первого и тогда, например, для
стационарного случая оценки переходных вероятностей следует рассчитывать по формуле (6.5).

Чтобы исключить такие сомнения относительно свойств процес­са, целесообразно использовать методы проверки, позволяющие отделить процессы с интересующими нас свойствами от всех про­чих. Формально такая задача сводится к проверке истинности од­ной из двух гипотез: Я0 — процесс обладает данным качеством; Я і — .процесс не обладает таким качеством.

При проверке условия стационарности вероятностей перехода гипотезы Я0 и Я і принимают вид: Яо — переходные вероятности стационарны, т. е. для всех т дц(т) =<?»;; Н — переходные вероят­ности нестационарны — Цц (т) зависят от т. Проверить истинность одной из гипотез можно либо методом, основанном на критерии согласия /-квадрат для однородности, либо методом максимума — правдоподобия. Асимптотически эти методы эквивалентны, и объе­мы вычислений примерно равны. Заметим, что распределение ста­тистики /-квадрат табулированно, что облегчает использование — первого метода.

Рассмотрим решение этой задачи с помощью метода максимума правдоподобия. Если верна гипотеза Я0, то максимальное значение-

/р—П П qn. jf< ]■ По аналогии в случае справедливости гипотезы * ‘,1

Н, 1,=ПП*„м’"и.

Т i, j

ИЛИ

— 21ogX=2 222 Піj (t) log [qu/qu{t)]. < і *

Процедура выбора одной из двух указанных гипотез неслож­ная: следует вычислить величину 21ogX, выбрать достаточно малое р (например 0,05—0,01) и оценить по таблицам критическое значе­ние распределения /-квадрат для выбранного значения р при за­данном числе степеней свободы (г— 1)(Е—1 )иР. Если 2 log X > /^рит,

то гипотезу о том, что переходные вероятности, стационарны, следует отбросить. Экспериментальные данные счи­таются не противоречащими гипотезе Я0, если — 2 log X с У.*рт. Эта процедура справедлива вследствие того, что величина (—21ogX) распределена асимптотически как ft-квадрат с (г— 1)Х X (F— 1) F степенями свободы [58].

Перейдем теперь к описанию метода проверки иа основе меры /-квадрат, значение которой определяется из Выражения

[пц(т)— т (т — )дц2

п,-(т— 1)дц
и имеет (F— 1 )F(r— 1) степеней свободы, если нулевая гипотеза ие|>ма. Преобразуем (6.6) так, чтобы величина /-квадрат выража­лась непосредственно через полученные оценки qij и Qij(т). Так как дц(т) выражается формулой (6.2), то

Подставляя (6.7) в (6.6), получаем

(6.8)

Анализ выражения (6.8) показывает, что /2 представляет собой отклонение оценки нестационарной вероятности перехода qa(i) от оценки стационарной вероятности для каждой пары (ij) и для всех моментов времени т. Проверка справедливости гипотезы Я0 сводится к вычислению величины /2 с помощью выражения (6.8), числа степеней свободы x=F(F—1) (г—1), определению по таб­лицам при заданном (или выбранном) уровне значимости /і^иі и сравнению /2 и Хкіиг. При х2>ХкРИТ гипотезу Я0 следует отбро­сан.. і

Проверка порядка марковской цепи сводится к выбору либо шиотезы Я0 (стационарная цепь Маркова имеет первый порядок), липо гипотезы Hi (стационарная цепь Маркова имеет второй по­рядок). Физический смысл этой операции заключается в том, что проверяется зависимость вероятности qi:;h(т) от индекса і. Гипоте­за //о справедлива в том случае, если такая зависимость отсутству — с1 І Іроверку можно осуществить двумя методами.

При использовании метода максимального правдоподобия вы­числяется отношение правдоподобия, которое равно:

величина —21ogX распределена как /-квадрат с (F— 1 )2F ск иенами езободы. Последовательность проверки справедливости ппюте. ш Я0 совпадает с процедурой, изложенной при описании ме­ні їй максимального правдоподобия для оценки стационарности.

Применение метода, основанного на мерс /-квадрат, связано с слепнем его значения с помощью выражения

11 рп этом число степеней свободы равно

(Я-1)2Я, а =

Справедливость гипотезы Я0 проверяется так же, как при ис­пользовании метода %-квадрат для оценки стационарности.

Изложенный подход удобен для определения значений элемен­тов МВП в случае, если объект не восстанавливается. При изготов­лении АС на предприятиях промышленности или ее ремонте в АРП в методике расчета МВП необходимо учитывать некоторые особен­ности.

В ходе настройки и приработки возможны отказы, которые устраняются, и только после этого производятся измерения пара­метров, результаты которых и фиксируются. Иными словами, при настройке и других операциях существует некоторая матрица ре­шений, в соответствии с которой происходит восстановление из­делия. Будем считать, что матрица решений имеет вид:

(6-9)

Она обозначает, что восстановление производится только при отказах, причем после их устранения состояние может быть любым в пределах 1, F— 1. ‘

Другая особенность обусловлена ограниченной точностью кон — . трольно-проверочной аппаратуры (КПА), вследствие чего резуль­таты измерений отражают состояние АС с некоторой погрешно­стью. Наконец, вследствие существования матрицы решений вида

(6.9) элементы qiF=0, Ш, F— 1, и поэтому полученная МВП не будет отражать в полной мере поведение параметра.

Опишем процесс измерения с учетом этих особенностей. В мо­мент контроля фиксируются значения, на основании которых мо­жет быть вычислена матрица измеренных значений P=QX, где Q ■— матрица переходных вероятностей при условии, что погреш­ности КПА отсутствуют; X — матрица’ погрешностей.

С учетом матрицы решений (6.9) результат измерения описы­вается матрицей.

Y—QXD.

Остановимся подробнее на структуре матриц, входящих в (6.10). Прежде всего отметим, что все матрицы являются стохастически­ми. Условия, которым должны удовлетворять элементы матрицы Q, были изложены в § 3.1. Элементы матрицы X все неотрицатель­ны, а элемент AFF=1. Последнее означает, что отказ обнаружива­ется с вероятностью единица. Вследствие того, что в матрице СУ один столбец содержит только нулевые элементы, она является особенной (ее определитель равен нулю).

При такой структуре исходных матриц результирующая матри­ца также будет особенной и один из ее столбцов будет линейно за —

ипопмым. Это позволяет сократить размерность матриц Q, X, D на і ч111111 цу путем вычеркивания в каждой из них строки и столбца с номером F. Отметим матрицы размерности F—] сверху индек­сом Д. Пусть матрица У представляет собой результат обработ­ки измерений для состояний?’el, F— 1. Тогда Y=QXD, откуда

Q=Y{D)-[2]X~ К * (6. 11)

Анализ выражения (6.11) показывает, что оценки элементов МБП могут быть найдены, если матрицы D и X имеют обратные — матрицы. Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, "юПы определитель каждой из них не был равен нулю. В силу предположения о структуре D (см. 6.9)) D = I и D~l=I, где I — і цинічная матрица. Для стохастической матрицы X обратная мат­рица всегда существует. Матрица X тем более будет иметь обрат-

F-1

нук> матрицу, так как можно построить норму вида шах ^ 1-MsU

1 5= 1

кчіорая всегда будет меньше единицы, что является достаточным условием существования обратной матрицы {59].

Найденные оценки вероятностей переходов описывают поведе­ние параметра в предположении, что число состояний равно I I. Для построения искомой матрицы размером FxF расши­рим пространство состояний путем введения поглощающего состоя­нии / В полученной матрице в последней строке с номером F все моменты известны: состояние F — поглощающее, поэтому qFF=

І, а все g>i = 0, і— 1, F — I. Остается определить элементы вида 4,1. О, i=l, F— 1 и пересчитать остальные элементы, чтобы удов — ‘н торить условию стохастической матрицы (3.2).

I’посмотрим один из способов, который позволяет оценить зна­ні — пня (/и,-, /е 1, F— 1 на основе данных об отказах, зафиксирован­ных н приложениях к журналам приемо-сдаточных испытаний. Бу­ном считать, ЧТО сумма элементов qiF, i^l, F— 1 соответствует ве­рти поотн отказа за интервал времени т, для которого рассчитыва-

F— 1

• " і МБП, т. е. ^ qiF—P{T<Д}. В предположении, что время

/-і

in попадания в поглощающее состояние распределено по экспонен­циальному закону *,

F— 1

^qlF=-^ (6.12)

г=і

і її — Л интенсивность отказов.

Можно предполагать, что по мере увеличения номера состояния вероятность перехода из этого состояния в состояние отказа не убы­
вает, т. е. 9г+1,в>9гв — Пусть эти вероятности возрастают линейно. Тогда, обозначив через k угловой коэффициент наклона, получим

{Р—Щір+ЯігЬ 2 (/-1)=Н-е-*т

/=і

/F-І

■ИЛИ при k— = { 1 — e~lr) I 2 І

l~ 1

______ /*-1

и. для любого /ЄІ, F — 1 qiP=/(l — e~u) J 2 j

W-i

Подстановка значений в расширенную матрицу с элемента­ми, рассчитанными на основе (6.11), приведет к тому, что условие стохастической матрицы будет нарушено. Поэтому необходимо пересчитать элементы вида Цц, ї, /є 1, F— 1. Это можно сделать, используя следующее /выражение:

Чі]—Яі]{ 1—^ів)> ІЄІ, F—П (6-14)

■где qiF получены из (6.13).

Покажем, что полученные в (6.14) значения qij удовлетворяют условию (3.2), для чего просуммируем левую и правую части (6.14) ло /:

F—l F—1 ^

2 Яи=(1 — Яір)’21Яи — г-1 7=1

F—l _

Так как 2 Qij= 1 по условию определения значений q,7,

7=1

1

qij= 1 — что соответствует после введения элемента qiF

под знак суммы условию (3.2). Таким образом, на основе предло­женной методики на этапах изготовления промышленности или ре­монта в АРП можно получить оценки значений элементов МВП, .необходимые для решения задач линейного программирования.